求以直线$x=y=z$为轴，过直线$2x=3y=-5z$的圆锥面方程.

解：

两条直线显然相交于原点.设圆锥面上的任意一点为$(x,y,z)$.我们知道直线

$2x=3y=-5z$的方向向量为$(15,10,-6)$.则直线$x=y=z$的方向向量为

$(1,1,1)$.我们知道

\begin{equation}

\cos \langle (1,1,1), (15,10,-6)\rangle=\frac{15+10-6}{\sqrt{3}\sqrt{15^2+10^2+6^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}

\end{equation}

则

\begin{equation}

  \frac{x+y+z}{\sqrt{3}\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}

\end{equation}

即$xy+yz+zx=0$即为该圆锥面的方程.